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Bisher war die Reproduktionszahl R ein wichtiger Indikator für eine Epidemie. Nun haben Schweizer Wissenschaftler ein neues mathematisches Modell entwickelt – genauso einfach, aber präziser.
Die meisten kennen sie vermutlich noch vom täglichen Corona-Update: die Reproduktionszahl R als Grundlage epidemiologischer Modelle. Denn sie gehen davon aus, dass jede infizierte Person im Verlauf einer Epidemie im Schnitt gleich viele andere Personen ansteckt. Ist R also größer als eins, steigen die Fallzahlen exponentiell an, ist R kleiner, sinken sie.
Für Wissenschaftler der Eidgenössischen Materialprüfungs- und Forschungsanstalt Empa war diese Sichtweise allerdings zu einfach, schließlich sind Gesellschaften heterogen. Also haben sie ein neues mathematisches Modell entwickelt, dass zwar ebenso einfach anzuwenden ist wir R, dabei aber genauere Vorhersagen ermöglicht.
Feldsches Freundschaftsparadox
Dem Prinzip nach ähnelt das neue Modell dem Freundschaftsparadox des US-Soziologen Scott Feld. Nach der Grundlage „Deine Freunde haben mehr Freunde als du“ tauchen gut vernetzte Manschen häufiger in den Freundeskreisen anderer auf. Und dieses Prinzip gilt auch für Infektionskrankheiten. „Je mehr Kontakte eine Person hat, desto mehr Menschen kann sie in einer Epidemie anstecken“, erklärt Ivan Lunati, Leiter des Labors Computational Engineering an der Empa.
Allerdings gelte es gleichzeitig zu differenzieren: „Fallzahlen können nicht unendlich weitersteigen, da die Bevölkerung nicht unendlich groß ist.“ Das rasante exponentielle Wachstum findet demnach vor allem zu Beginn einer Infektionswelle statt. Mit der Zeit gibt es immer weniger Menschen, die noch angesteckt werden können, der R-Wert nimmt also ab, und die Zunahme der Neuinfektionen verlangsamt sich, bis es schließlich zu einem Infektions-Peak kommt und die Fallzahlen wieder zu sinken beginnen – eine Kurve, die nach der Covid-Pandemie wohl den meisten Menschen vertraut ist.
Nicht unendlich viele „Superspreader“
Und genau dieser Peak lässt sich mit mathematischen Methoden berechnen. Geht man dabei von der Annahme aus, dass jede infizierte Person gleich viele andere Menschen ansteckt, weicht das Modell jedoch von den empirisch gemessenen Infektionswellen ab. Zwar kann es den Beginn der Welle gut wiedergeben, im späteren Verlauf ebbt die Infektionswelle jedoch schneller ab als vorhergesagt, sodass der Peak schlußendlich etwas tiefer ausfällt als in der Modellrechnung – und zwar selbst dann, wenn keine neuen Schutzmaßnahmen den Infektionsverlauf beeinflussen.
Und genau hier kommt das Team um Lunati auf Parallelen zum Freundschaftsparadox zurück: „Menschen mit vielen sozialen Kontakten stecken sich besonders schnell an, und stecken ihrerseits wieder viele andere an“, erklärt Lunati. Solche Menschen bezeichnen die Forschung auch als Hubs oder Superspreader. Zu Beginn einer Infektionswelle sind es vor allem sie, die den Anstieg der Fallzahlen vorantreiben. Die Anzahl solcher Superspreader in der Gesellschaft ist allerdings relativ klein. Sind sie alle infiziert – was aufgrund ihrer vielen Kontakte relativ schnell eintrifft –, verlangsamt sich die Ausbreitung der Krankheit. Herkömmliche Modelle, die auf der Reproduktionszahl R basieren, berücksichtigen diese Verlangsamung nicht.
Reproduktionsmatrix genauer
In einer Studie, die vor kurzem im Journal of the Royal Society Interface veröffentlicht wurde, schlägt das Empa-Team deshalb die Verwendung einer sogenannten Reproduktionsmatrix anstelle der Reproduktionszahl vor. Diese Matrix sagt aus, wie schnell einzelne Bevölkerungsgruppen angesteckt werden, und trägt somit der Heterogenität der Gesellschaft Rechnung. „Wir wollten über die vereinfachte Interpretation der Reproduktionszahl R hinausgehen und die Komplexität realer Epidemiewellen besser erfassen“, erklärt Empa-Forscher Hossein Gorji. „Die Reproduktionsmatrix ermöglicht uns eine genauere Vorhersage der Krankheitsausbreitung, indem sie sowohl die Nichtlinearität als auch die Heterogenität berücksichtigt, die bei herkömmlichen Modellen oft übersehen werden.“
Tests mit Daten kleiner Länder
Bei der Definition dieser Reproduktionsmatrix setzten die Forscher auf Daten aus anderen Studien. Für ihr Modell teilten sie die Gesellschaft nach Alter in Gruppen ein. Am meisten Kontakte haben dabei – im Durchschnitt – Personen zwischen zehn und 25 Jahren. „Diese Gruppeneinteilung nach Alter ist natürlich eine Verallgemeinerung, echte soziale Kontakte sind komplexer“, erklärt Lunati. „Außerdem nimmt unser Modell an, dass sowohl die Ansteckungen als auch die Superspreader gleichmäßig im ganzen Land verteilt sind. Für kleine Länder mit gut verbundenen Regionen und relativ einheitlichen sozialen Strukturen ist diese Annahme wenig problematisch.“ Bei großen Ländern müsste man allerdings auch die geografische Verteilung der Bevölkerung und die Kontakte zwischen den Regionen berücksichtigen.
Ihr neues Modell testeten die Forscher mit Covid-Daten aus der Schweiz und aus Schottland – beides relativ kleine Länder. Sie konnten zeigen, dass die Matrix wesentlich genauere Vorhersagen von Infektions-Peaks ermöglicht. „Natürlich ist auch unser Modell stark vereinfacht“, gibt Lunati zu. Die Stärke des Matrix-Modells liegt aber gerade in dieser Simplizität: „Es ist sehr einfach anzuwenden, aber zugleich viel realistischer als der R-Wert allein.“
Die Nützlichkeit des neuen Modells beschränkt sich dabei nicht auf Epidemien: Es kann in unterschiedlichen Systemen zum Einsatz kommen – immer dann, wenn sich Objekte über ein Netzwerk verbreiten. So wollen es die Forscher künftig etwa verwenden, um die Ausbreitung von Ansichten, Meinungen und Verhaltensweisen in einer Gesellschaft zu simulieren – etwa, wenn es um die Adoption von neuen Technologien oder einer nachhaltigen Lebensweise geht.
